B.4 基础插值方法

B.1 已经看到：插零以后还要低通滤波，才能把中间位置补成合理数值。时域上这是插值，频域上这是去镜像。

这一节还是用 2 倍升采样的任务，但换几种填值规则比一比：零阶保持、线性插值和低通插值。都能把样本点变多，但保真度、平滑性和频域代价各不一样。

本小节提出的这三种方法，都可以按照“插零-滤波”的模型来等效理解，零阶、线性均可以理解为频域的不同滤波器。为什么可以等效我会在下一小节讲。

零阶保持

最简单的办法是把前一个样本值保持到下一个样本到来之前。原序列如果是

x[n] = [1, 2, 3, 4]

2 倍零阶保持后的结果是

y[n] = [1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4]

这叫零阶保持（zero-order hold, ZOH）。不需要算斜率，也不需要看远处的样本，只是把每个样本复制到后面的新位置。

MATLAB 里可以用 repelem 写出这个动作：

L = 2;
y_zoh = repelem(x, L);

零阶保持在时域上产生阶梯波形，样本交界处直接跳变，没有过渡。这些跳变对应频域里的高频成分，镜像抑制较弱，高频处会留下明显残余。

把零阶保持看成“先插零，再经过保持滤波器”，那么频域上它不是像理想低通那样把镜像硬切掉，而是用一个随频率下垂的包络去乘插零后的频谱。靠近 $\omega=\pm\pi$ 的镜像会被压低，但通带边缘也跟着下垂。为什么这样，下一讲会用公式揭晓。

零阶保持只看前一个样本。更平滑的办法是在相邻两个样本之间连一条直线，把中间点放在这条直线上。

相邻两个样本是 $x[n]$ 和 $x[n+1]$ ，2 倍线性插值时，中间点取两者平均：

y[2n] = x[n]

y[2n+1] = \frac{x[n]+x[n+1]}{2}

例如

x[n]=[1, 3, 5, 7]

2 倍线性插值后得到

y[n]=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

新增的点 2、4、6 都来自相邻样本的平均。

old_index = 1:length(x);
new_index = 1:0.5:length(x);
y_linear = interp1(old_index, x, new_index, 'linear');

线性插值比零阶保持平滑，高频残余少一些。但它只是局部直线近似，和理想低通重建不是一回事。信号变化越快，直线近似对高频细节的损失越明显。

从频域看，线性插值相当于用一个三角形插值核继续压低高频镜像。它比 ZOH 的镜像残余更少，但低通并不陡峭，通带边缘仍然会被削弱。公式推导一样在下一节给出。

B.1 中的插零加低通，也是一种插值方法。它先在样本之间插入零，再用低通滤波器根据周围样本补出中间值：

L = 2;
x_up = zeros(1, L*length(x));
x_up(1:L:end) = x;
h = fir1(50, 1/L) * L;
y_lpf = conv(x_up, h, 'same');

ZOH 只看前一个样本，线性插值看相邻两个，低通插值则通过滤波器把一段邻域内的样本加权组合起来。滤波器越接近理想低通，输出越接近带限重建结果。

低通插值最好从频域理解：插零后频谱中出现镜像，低通滤波器保留基带，压制镜像。时域上得到平滑的插值结果，频域上完成抗镜像滤波。

单独放到频域里看：插零后，基带两侧出现镜像；低通滤波器只保留 $|\omega|\le \pi/2$ 的部分，把外侧镜像压掉。

三种方法的频域代价不同。ZOH 的阶梯波形带来较多高频成分；线性插值相当于更平滑的局部平均，高频残余少一些；低通插值按照抗镜像目标设计，保真度最高，但计算量和延迟也跟着上去。

图 B.4-7 把三种方法都放到插值后的频谱里比较。虚线是插零后留下的镜像，实线是对应方法处理后的频谱。ZOH 能压低一部分高频镜像，但基带边缘已经开始下垂；线性插值的镜像残余更少，代价是高频细节进一步被削弱；FIR 低通插值按“保留基带、压制镜像”的目标设计，频谱最干净。

阶梯、直线、平滑曲线——三种时域形状，背后是不同程度的镜像残余和通带损伤。插值质量要回到频谱上判断，去看基带保得怎么样，镜像压得干不干净。