B.1 升采样：从低速到高速

一段语音用 8 kHz 采样保存，每秒 8000 个样本。播放设备要求 16 kHz，每秒要读 16000 个样本。语音内容没变，问题是样本点不够——设备一秒钟想要 16000 个数，文件里只有 8000 个。

最容易想到的办法，是在两个旧样本之间补一个新样本。真正的问题也在这里：补什么？

先试最省事的办法：补零。

B.1.1 插零操作

假设原始序列只有 8 个样本：

x[n] = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

做 2 倍升采样，在每两个样本之间插一个零：

x_u[n] = [1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 0, 6, 0, 7, 0, 8, 0]

这个操作叫插零（zero-stuffing）。序列长度变成原来的 2 倍，采样间隔从 $T$ 变成了 $T/2$ 。如果用一般的 $L$ 倍升采样表示，就是

x_u[n] = \begin{cases} x[n/L], & n = 0, \pm L, \pm 2L, \cdots \\ 0, & \text{其他位置} \end{cases}

对 $L=2$ ，按 $n=0,1,2,\cdots$ 记下标，原来的样本落在 $0,2,4,\cdots$ 这些偶数位置，新插入的点在中间。MATLAB 下标从 1 开始，写程序时对应到第 1、3、5、… 个元素。

插零确实把采样率翻倍了，但结果还没法用。把插零后的序列当波形看，每个原始样本后面都突然掉到 0，再从 0 跳到下一个样本。放在语音里，多出来一些高频毛刺；放在图像里，类比放大后边缘很生硬。插零只是把新采样点的位置排出来了，新位置上应该是什么合理的数值，它还没给。

B.1.2 插零后的频谱镜像

时域里的跳变，对应频域里的高频成分。把插零前后的序列做 DTFT，可以看到：原来的频谱被压到低频区域，同时高频区域出现了一份额外的复制品。

对 2 倍升采样，频谱关系是

X_u(e^{j\omega}) = X(e^{j2\omega})

把插零定义代入 DTFT， $2\omega$ 来自下标换元：

X_u(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_u[n]e^{-j\omega n} = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x_u[2m]e^{-j2\omega m} = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]e^{-j2\omega m} = X(e^{j2\omega})

第二个等号只保留偶数位置。奇数位置上的 $x_u[n]$ 都是 0，对求和没有贡献；偶数位置写成 $n=2m$ ，并且 $x_u[2m]=x[m]$ 。指数项随之变成 $e^{-j\omega(2m)}=e^{-j2\omega m}$ ，于是得到 $X(e^{j2\omega})$ 。

关键在自变量 $2\omega$ 。当 $\omega$ 从 $-\pi/2$ 走到 $\pi/2$ 时， $2\omega$ 正好走完整个 $[-\pi, \pi]$ ，原来占满 $[-\pi, \pi]$ 的频谱就被压缩到了 $[-\pi/2, \pi/2]$ 。离散时间频谱以 $2\pi$ 为周期，压缩后相邻周期的副本也会落进新的 $[-\pi, \pi]$ 范围内。这个副本就叫镜像频谱（image）。

还是拿 8 kHz 语音升到 16 kHz 来看。原信号在 8 kHz 采样率下无歧义频率范围是 $[-4\text{kHz}, 4\text{kHz}]$ ，升到 16 kHz 后新的无歧义范围变成 $[-8\text{kHz}, 8\text{kHz}]$ 。原有内容仍然只占低频那一块；插零带来的镜像，会落到新的高频区域。

时域里的毛刺和频域里的高频镜像说的是同一件事。要让波形平滑，就要把这些镜像去掉。

B.1.3 低通滤波去除镜像

去除镜像用低通滤波器。它保留低频里的原始信息，压掉高频里的镜像。

对 2 倍升采样，原始频谱被压缩到 $[-\pi/2, \pi/2]$ ，镜像从 $\pi/2$ 附近开始出现。理想低通滤波器的截止频率取

\omega_c = \frac{\pi}{2}

$L$ 倍升采样时，原始频谱压缩到 $[-\pi/L, \pi/L]$ ，截止频率对应变成

\omega_c = \frac{\pi}{L}

滤波器通带增益要取 $L$ 。用常数序列就能看出来为什么。原来全是 1 的序列，2 倍插零后变成

[1, 0, 1, 0, 1, 0, \cdots]

平均值变成了原来的一半。低通滤波把它平滑成常数时，如果通带增益还是 1，结果会接近 $0.5$ ；要恢复到原来的幅度，就要乘以 2。 $L$ 倍升采样的道理一样，插值低通的通带增益取 $L$ 。

经过低通滤波后，插入位置就不再是零了，而是由邻近样本共同决定的平滑值。时域上是在做插值，频域上是在去镜像，两种说法指的是同一个操作。

表B.1-1：不同升采样倍数对应的滤波器参数

升采样倍数 $L$	截止频率 $\omega_c$	通带增益
2	$\pi/2$	2
3	$\pi/3$	3
4	$\pi/4$	4

截止频率不是越高越好，它要卡在原始频谱和镜像之间。放得太高，镜像会漏出来；放得太低，原始信号本来有用的高频内容也会被削掉。

B.1.4 完整升采样系统

把 8 kHz 语音升到 16 kHz，完整流程是

升采样倍数为

L = \frac{16000}{8000} = 2

先在每两个样本之间插一个零：

原始	插零后
`[x[0], x[1], x[2], x[3], ...]`	`[x[0], 0, x[1], 0, x[2], 0, x[3], 0, ...]`

再设计低通滤波器：截止频率 $\pi/2$ ，通带增益 2。滤波后，新插入位置得到合理的中间值，输出序列的采样率就是 16 kHz。

下面是一个 2 倍升采样的 MATLAB 实现。fir1 里的截止频率按 Nyquist 频率归一化，cutoff = 1/L 对应数字频率 $\pi/L$ 。函数假设输入是单通道序列；如果输入是列向量，输出也保持为列向量。

function y = upsample_2x(x)
    L = 2;
    wasColumn = iscolumn(x);

    x = x(:).';
    x_upsampled = zeros(1, L * length(x));
    x_upsampled(1:L:end) = x;

    numtaps = 51;
    cutoff = 1 / L;
    h = fir1(numtaps - 1, cutoff);
    h = L * h;

    y = conv(x_upsampled, h, 'same');

    if wasColumn
        y = y.';
    end
end

两个步骤对应代码里的两行：x_upsampled(1:L:end) = x 完成插零，conv(x_upsampled, h, 'same') 完成低通滤波。取 51 点 FIR 是为了得到奇数长度的线性相位滤波器，群延迟是 $(51-1)/2=25$ 个样本。numtaps 越大，过渡带越窄，镜像压制越好，计算量和延迟也跟着涨。'same' 让输出长度保持为插零后的长度。实际处理音频时还要补偿群延迟，开头和结尾的边界样本也要留意。

工程里也可以用 interp 或 resample。这里手写是为了把两个动作拆开看清楚：插零把采样位置扩展出来，低通滤波去掉镜像并补出中间值。频域上去掉的是镜像，时域上得到的是插值后的平滑波形。