频谱副本与混叠条件

上一节从采样点看混叠，1 Hz 用 1.5 Hz 采样会被读成 0.5 Hz，6.5 Hz 混进 10 Hz 采样系统会折回到 3.5 Hz。

换到频域看，这些数不是巧合。采样会把原来的频谱复制成一排副本。副本之间留出空隙时，中心那份就能完整分离。一旦副本挤在一起，不同来源的频率就会落进同一位置，这就是混叠。

频谱图的读法

图正中间是 0 Hz，往右正频率，往左负频率。

工程上说的带宽，一般指信号最高频率 $B$ ，即正频率从 $0$ 到 $B$ 。傅里叶图为了对称，会把同一件事画成 $-B$ 到 $B$ 。带宽没有翻倍，只是画法不同。

说法	图上怎样画	容易误解的地方
正频率范围 $0$ 到 $B$	只看工程任务关心的正频率	以为频谱没有负频率
双边频谱 $-B$ 到 $B$	傅里叶分析常用的对称画法	以为带宽变成了 $2B$

看这类图，先看中心频谱的宽度，再看旁边副本离它多远。

上半图中，信号带宽是 3 Hz，采样率是 8 Hz。中心频谱占据 $-3$ 到 $3\text{ Hz}$ ，旁边的副本中心在 $\pm8\text{ Hz}$ ，中间还有空隙。下半图中，带宽变成 5 Hz，采样率仍是 8 Hz，副本已经压进中心区域。

情况	中心频谱范围	副本间隔	结果
$B=3\text{ Hz}, f_s=8\text{ Hz}$	$-3$ 到 $3\text{ Hz}$	8 Hz	分开，可恢复
$B=5\text{ Hz}, f_s=8\text{ Hz}$	$-5$ 到 $5\text{ Hz}$	8 Hz	重叠，混叠

这张图对应的数学说法，是每隔 $f_s$ 放一份频谱副本。

采样（一）里，理想采样可以写成

x_s(t)=x(t)p(t),\quad p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)

这里的 $p(t)$ 是一排等间隔脉冲。它在每个采样时刻扎一下，把连续信号 $x(t)$ 在这些时刻的数值留下来。

这排脉冲变到频域也是等间隔的，

P(f)=\mathcal{F}\{p(t)\}=f_s\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(f-kf_s)

时域里每隔 $T_s$ 放一根脉冲，频域里就每隔 $f_s=1/T_s$ 放一根脉冲，位置在 $0,\pm f_s,\pm2f_s,\ldots$ 。

下图只看采样脉冲列本身。左边是时域里的脉冲间隔 $T_s$ ，右边是频域里的脉冲间隔 $f_s$ 。

前面的 $f_s$ 来自 $f_s=1/T_s$ 。这一项只改变整体幅度，不改变”副本隔多远”这件事。

时域相乘对应频域卷积。因为

x_s(t)=x(t)p(t)

所以采样后的频谱是

X_s(f)=X(f)*P(f)

代入 $P(f)$ ，

X_s(f)=X(f)*\left[f_s\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(f-kf_s)\right]

卷积逐项分配，

X_s(f)=f_s\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left[X(f)*\delta(f-kf_s)\right]

函数和移位脉冲卷积，会把函数搬到脉冲的位置，

X(f)*\delta(f-kf_s)=X(f-kf_s)

得到

X_s(f)=f_s\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(f-kf_s)

这正是图里”每隔 $f_s$ 放一份频谱副本”。 $k$ 是副本编号，

下图把时域和频域放在一起。左边时域，连续信号 $x(t)$ 乘上采样脉冲列 $p(t)$ 得到 $x_s(t)$ 。右边频域，原频谱 $X(f)$ 和 $P(f)$ 卷积得到按 $f_s$ 间隔重复的频谱副本。

如果 $f_s=8\text{ Hz}$ ，副本中心就在 $0$ 、 $8\text{ Hz}$ 、 $-8\text{ Hz}$ 、 $16\text{ Hz}$ 、 $-16\text{ Hz}$ 这些位置。求和号只是把这些副本写到一起。

正文的结论是

p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)

对应的频域表达式为

P(f)=f_s\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(f-kf_s),\quad f_s=\frac{1}{T_s}

先看 $p(t)$ 。它每隔 $T_s$ 重复一次，是周期信号，展开成傅里叶级数就是

p(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k e^{j2\pi k f_s t}

$f_s=1/T_s$ ， $k$ 是整数。 $c_k$ 是第 $k$ 个频率成分的权重。下面求这些 $c_k$ 。

傅里叶级数系数的公式是

c_k=\frac{1}{T_s}\int_{-T_s/2}^{T_s/2}p(t)e^{-j2\pi k f_s t}\,dt

只积一个周期就够了。 $p(t)$ 是周期信号，一个周期的形状决定了整串结构。取 $[-T_s/2,T_s/2]$ ，中间那根冲激正好在 $t=0$ ，积分最简单。

在这个周期里， $p(t)$ 只有一根单脉冲 $\delta(t)$ 。其它冲激在 $\pm T_s,\pm2T_s,\ldots$ ，都不在积分区间里。积分中 $p(t)$ 就只剩它，

c_k=\frac{1}{T_s}\int_{-T_s/2}^{T_s/2}\delta(t)e^{-j2\pi k f_s t}\,dt

冲激函数会取出函数在冲激位置的值，即

\int \delta(t)g(t)\,dt=g(0)

取 $g(t)=e^{-j2\pi k f_s t}$ ，在 $t=0$ 处 $g(0)=e^{-j2\pi k f_s\cdot0}=e^0=1$ 。所以

c_k=\frac{1}{T_s}\cdot1=\frac{1}{T_s}=f_s

每个整数倍频率上的权重都一样，都是 $f_s$ 。因此

p(t)=f_s\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{j2\pi k f_s t}

变到频域，基本变换对是

\mathcal{F}\{e^{j2\pi f_0t}\}=\delta(f-f_0)

频率为 $f_0$ 的纯复指数，在频域里只出现在 $f_0$ ，即 $\delta(f-f_0)$ 。

求和里每一项的频率是 $kf_s$ ，因此

\mathcal{F}\{e^{j2\pi k f_s t}\}=\delta(f-kf_s)

合起来，

P(f)=\mathcal{F}\{p(t)\} =f_s\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(f-kf_s)

这就得到正文用的结论，在 $f=0,\pm f_s,\pm2f_s,\ldots$ 各放一根冲激，每根系数都是 $f_s$ 。