B.3 分数倍率变换

前两节各处理一种情况：8 kHz 到 16 kHz，先插零再低通；16 kHz 到 8 kHz，先低通再抽取。实际系统里，目标采样率往往不是原来的整数倍，也不是整除关系。

比如 CD 常见采样率是 44.1 kHz，很多音频设备内部用 48 kHz。两套采样时刻对不上：44.1 kHz 每秒 44100 个点，48 kHz 每秒 48000 个点，大部分时刻都错开了，不能把 44.1 kHz 的样本原样搬到 48 kHz 的位置上。

中间采样时刻

把 44.1 kHz 转成 48 kHz，采样率之比是

\frac{48000}{44100}=\frac{160}{147}

也就是说目标采样率是原来的 $160/147$ 倍。把一秒画成一条时间轴：44.1 kHz 在上面标出 44100 个采样时刻，48 kHz 标出 48000 个，除了少数重合点，目标时刻大多落在原样本之间。

解决办法是先建立一套更密的中间采样时刻。原样本先放到这套时刻上，低通滤波器补出中间位置的值，再从中取出目标采样率需要的那些。对 $L/M$ 倍这种分数倍率变换，流程如图B.3-1。

插零 $L$ 倍之后，中间采样率变成 $L f_s$ 。再抽取 $M$ 倍，输出采样率变成

f_s' = f_s\frac{L}{M}

这套中间时刻同时容纳了原采样率和目标采样率的位置：升采样把原样本放到足够密的格子上，降采样再从里面取出目标位置的样本。

$L/M$ 转换里的低通滤波器要同时做两件事：去掉插零带来的镜像，以及防止后续抽取产生混叠。

插零 $L$ 倍之后，镜像从 $\pi/L$ 附近开始出现。为了抗镜像，截止频率不能超过

\frac{\pi}{L}

接下来还要抽取 $M$ 倍，为了防混叠，中间序列在抽取前也得限制在

\frac{\pi}{M}

以内。

两个条件都要满足，截止频率取较小的那个：

\omega_c = \min\left(\frac{\pi}{L},\frac{\pi}{M}\right)

用 MATLAB 的 fir1 时，截止频率按 Nyquist 归一化，写法是

\text{cutoff} = \min\left(\frac{1}{L},\frac{1}{M}\right)

升采样低通的通带增益还要乘以 $L$ 。

先用小比例把流程走一遍。假设要把采样率变成原来的 $3/2$ 倍，即 $L=3, M=2$ 。输入采样率为 100 Hz，输出就是

100\times\frac{3}{2}=150\text{ Hz}

完整流程：先插零 3 倍，把 100 Hz 的样本放到 300 Hz 的中间时刻上；低通滤波；再每 2 个样本取 1 个，得到 150 Hz。

L = 3;
M = 2;

x_up = zeros(1, L*length(x));
x_up(1:L:end) = x;

h = fir1(60, min(1/L, 1/M));
h = L * h;

v = conv(x_up, h, 'same');
y = v(1:M:end);

代码里 x_up(1:L:end) = x 是插零，fir1(60, min(1/L, 1/M)) 设计合并后的低通滤波器，h = L * h 补偿插零带来的幅度稀释，最后 v(1:M:end) 完成抽取。

回到音频转换。44.1 kHz 到 48 kHz 的比例是

\frac{48000}{44100}=\frac{160}{147}

所以取

L=160,\qquad M=147

系统流程如图B.3-4。

低通滤波器的归一化截止频率是

\min\left(\frac{1}{160},\frac{1}{147}\right)=\frac{1}{160}

取 $1/160$ ，是因为插零 160 倍后镜像间隔更窄，抗镜像的约束更严。滤波器通带增益还要乘以 160。

这个例子插了 159 个零，计算量很大。工程上不会真把所有零都算出来，而是用多相滤波器等结构减少计算。本节只要掌握原理流程：先升到更密的中间时刻，低通保留输入和输出都能表达的频带，再抽取到目标采样率。

$L/M$ 转换里一般先升采样，再滤波，再降采样。要是先降采样，原信号中高于降采样后 Nyquist 边界的部分可能已经混叠；再升采样，只是把已经混叠的结果搬到更密的位置上，折回的高频信息回不来了。

以 44.1 kHz 到 48 kHz 为例：先升到更密的中间时刻不会丢信息；低通再决定保留哪些频率；最后抽取只是在已限带的信号上取目标样本。

在 MATLAB 里，resample(x, L, M) 可以做同样的事。看懂手写流程之后，就不会把 resample 当黑箱了：它内部做的还是升采样、低通滤波和降采样，只是实现更高效。