采样频率的选择

温度一小时记一次，通常还能看出一天的升降；振动信号一小时记一次，几乎什么也看不出来。采样点取得够不够密，要看对象变化得有多快，也要看后面的任务想保留哪些变化。

采样率的选择，取决于当前任务需要多密的采样点。点太稀，快变化会被错过；点太密，数据量、传输和计算负担都会跟着涨。

任务频带与无歧义边界

先从语音采集看。假设任务只要求保留 0 到 7 kHz 的语音成分，候选采样率有 12 kHz、14 kHz 和 16 kHz。

三个范围先分清楚：

任务目标频带给出最高有效频率 $f_{max}$ 。这个例子里， $f_{max}=7\text{ kHz}$ ，至少要把 7 kHz 以内的内容保住；输入里仍然可能混有更高频率的噪声或无关成分。

采样率给出的边界为什么会是”一半”？先看一个具体采样率。若 $f_s=16\text{ kHz}$ ，系统每秒取 16000 个点。一个 $8\text{ kHz}$ 正弦波每秒振动 8000 次，平均下来一个周期只剩 2 个采样点，落在前半圈时下一点已经转到了后半圈。

上图把 $f_s=16\text{ kHz}$ 时的三种频率放在一起。4 kHz 时，一个周期内还能看到多个采样点；8 kHz 时，一个周期只剩 2 个点；10 kHz 已经越过一半，采样点会呈现出低频的样子。

这已经是分辨正弦快慢的临界情况。频率再高，一个周期里连 2 个采样点都不到；只看离散样本，系统就可能把它解释成另一个更低的频率。

所以，当采样率是 $f_s$ 时，正频率能稳定表示到采样率的一半，

f_N=\frac{f_s}{2}

这个一半就叫奈奎斯特频率，记为 $f_N$ 。采样率选择的底线，是让 $f_s/2$ 盖住任务的最高有效频率。

\frac{f_s}{2}\ge f_{max}

写成常见形式：

f_s\ge 2f_{max}

对 0 到 7 kHz 的语音任务，理论下限是 14 kHz。三个候选值可以这样比较：

候选 $f_s$	$f_s/2$	是否覆盖 7 kHz	结果
12 kHz	6 kHz	否	不足
14 kHz	7 kHz	是，刚好	理论边界
16 kHz	8 kHz	是	有余量

上图比较的是任务最高频率和 $f_s/2$ 的相对位置。边界低于目标说明采样率不够，刚好压在线上是理论边界，这样非常极限，超过才算有余量。

再换一个数。电话语音常把目标频带看成 0 到 3.4 kHz。如果候选采样率是 6 kHz、8 kHz、10 kHz：

候选 $f_s$	$f_s/2$	是否覆盖 3.4 kHz	结果
6 kHz	3 kHz	否	不足
8 kHz	4 kHz	是	可用，有一定余量
10 kHz	5 kHz	是	余量更大，代价也更高

先按 $f_s\ge 2f_{max}$ 来选。

采样定理假设信号是理想带限的，某个频率之外频谱严格为零。真实系统很少这么干净，所以采样率不能只盯着等号。

先理一下几个概念：

14 kHz 对 7 kHz 任务只是理论边界。真实系统中，采样前通常要加抗混叠低通滤波器，把不需要的高频压下去。真实滤波器有过渡带，不会在 7 kHz 之后立刻从完全通过变成完全截止。如果采样率卡在理论下限，过渡带没有空间，高频残留可能折回低频。

下图把抗混叠低通前后的频谱画出来。滤波前，目标频带外还可能有高频成分；滤波后，目标频带尽量保留，超过 $f_s/2$ 的成分被压低。中间的过渡带需要空间。

理论边界和工程余量还可以放在同一张图里。上面是刚好卡在理论边界的情况，低通滤波器几乎没有过渡空间；下面留出余量后，滤波器可以从目标频带慢慢过渡到截止。

所以常见采样率都高于理论下限。电话语音的目标频带约 3.4 kHz，常用 8 kHz；CD 音乐的目标频带约 20 kHz，常用 44.1 kHz。多出来的部分给滤波器过渡带和信号不确定性留位置。

采样率也不能无节制提高。采样率提高一倍，单位时间样本数也提高一倍，存储、传输和计算负担都会增加。选择采样频率时，先覆盖最高有效频率，再留出工程余量，最后看系统能否承担额外代价。