采样过慢造成的频率错认

拍摄车轮时，有时会看到轮辐慢慢转、停住，甚至倒着转。车轮本身没这么转，是一帧一帧的画面把快运动读成了另一个慢运动。

信号采样也一样。采样率太低时，信息不够；数字系统会把高频成分当成低频，再把错误结果传给后续处理。这个现象叫混叠。

采样点怎样给出错误的低频

看一个 1 Hz 正弦波，也就是 1 秒振动 1 次。下图把同一个信号分别按 4 Hz、2 Hz 和 1.5 Hz 采样。采样率越低，点越稀。4 Hz 时每周期还能拿 4 个点，到 2 Hz 就只剩过零处的一排 0，再降到 1.5 Hz 时干脆落在另一条更慢的曲线上。

图A.3-1：采样不足与混叠

图中看采样点就行。第一行还能看到 1 Hz 波形的上升、过零、下降。第二行每周期刚好两个点，采样相位不同时也可能只拿到过零点。到了第三行，红色采样点落在另一条更慢的虚线波形上。只看这些样本，数字系统会把原来的 1 Hz 看成带半圈相位差的 0.5 Hz。

用公式算一下。设原信号为 $1\text{ Hz}$ 正弦，采样频率为 $1.5\text{ Hz}$，采样后的序列是

$$x[n]=\sin\left(2\pi\frac{1}{1.5}n\right)$$

因为 $\frac{1}{1.5}=\frac{2}{3}$，所以

$$x[n]=\sin\left(2\pi\frac{2}{3}n\right)$$

而 $0.5\text{ Hz}$ 以同样的 $1.5\text{ Hz}$ 采样时，序列是

$$x_{0.5}[n]=\sin\left(2\pi\frac{0.5}{1.5}n\right) =\sin\left(2\pi\frac{1}{3}n\right)$$

这两组样本只差一个负号，

$$\sin\left(2\pi\frac{2}{3}n\right) =-\sin\left(2\pi\frac{1}{3}n\right)$$

这个负号表示相位差半圈。数字系统只看采样点，不知道两个样本之间原来转得更快，就会把 1 Hz 的信号当成 0.5 Hz 的低频。

混叠不只是细节变少。信息少了还好办，混叠是把高频伪装成低频；低频区一旦掺进错误信号，后面的算法会把它当成真的低频来处理。

折回频率怎么读

一个超过 $f_s/2$ 的频率，采样以后会冒充成哪个低频？这个低频叫折回频率。

以 $f_s=10\text{ Hz}$ 为例，奈奎斯特频率是 $5\text{ Hz}$。能无歧义表示的正频率只落在 $0$ 到 $5\text{ Hz}$ 这一段。$6.5\text{ Hz}$ 比 $5\text{ Hz}$ 高了 1.5 Hz，放不进去，就从 $5\text{ Hz}$ 往回退 1.5 Hz，退到 $3.5\text{ Hz}$。

为什么会折回？因为采样后的频率以 $f_s$ 为周期重复。相差整数倍 $f_s$ 的连续频率，只看采样点时分不清。

从输入频率 $f$ 减去整数倍的 $f_s$，把结果搬进 $0$ 到 $f_s/2$，

$$f_{alias}=|f-kf_s|$$

这里的 $k$ 取整数就行。选合适的 $k$，把频率搬回数字系统能表示的正频率范围。

1 Hz 以 1.5 Hz 采样时，奈奎斯特频率是

$$\frac{f_s}{2}=0.75\text{ Hz}$$

1 Hz 超过了 0.75 Hz，越界了。它和 $1.5\text{ Hz}$ 差 0.5 Hz，

$$|1-1.5|=0.5\text{ Hz}$$

所以只看采样点的话，会读出 0.5 Hz，是样本点丢掉了中间的快变化。

采样率 10 Hz，输入里有 6.5 Hz 成分。奈奎斯特频率是 5 Hz，6.5 Hz 越界了。它离 10 Hz 差 3.5 Hz，

$$|6.5-10|=3.5\text{ Hz}$$

所以 6.5 Hz 会折回到 3.5 Hz。换个说法，把 $f_s/2$ 当成镜子，6.5 Hz 比 5 Hz 高 1.5 Hz，镜像位置就比 5 Hz 低 1.5 Hz。

下图把这个折回关系画成一条折线。输入频率越过 $f_s/2$ 后，不会继续出现在更高的位置，会折回到低频区。

图A.3-2：折回频率

几组例子，

采样率	输入频率	最近的 $k f_s$	折回频率	读法
10 Hz	6.5 Hz	10 Hz	3.5 Hz	越过 5 Hz 后折回
10 Hz	8.5 Hz	10 Hz	1.5 Hz	更高频率可能落到更低处
10 Hz	11 Hz	10 Hz	1 Hz	超过一个采样频率后仍按差值读

最后一行的 11 Hz 虽然已经超过 10 Hz，但仍会读成 1 Hz。对 10 Hz 采样来说，11 Hz 和 1 Hz 只差一个采样频率。只看采样点，它们给出的快慢一样。

数字频谱里要是有 3.5 Hz 的峰值，系统没法靠样本区分它是真实的 3.5 Hz，还是 6.5 Hz 折回来的。混叠一旦进了数字域，就辨不出来源了。

抗混叠低通要放在采样前。先把不需要的高频压下去，才能避免它们折回有效频带。