从连续信号到离散序列

一个连续变化的量要进入数字系统，第一件事就是采样。比如麦克风前的声压、温度传感器的读数、振动台的位移，这些都随时间连续变化。计算机能存下来的，只是按时刻取到的一串数字。采样，就是在连续时间轴上选一些时刻，把这些时刻的信号值取出来。

连续对象怎样进入数字系统

一天的温度曲线 $T(t)$ 随 $t$（小时）连续变化。气象站每 3 小时记一次，它保存的只是曲线上几个固定时刻的值。在连续曲线上定时取值，这就是采样。

图A.1-1：温度曲线与采样点

图中的圆点就是被留下来的温度值。前几个点可以写成

$$T[0]=T(0),\quad T[1]=T(3),\quad T[2]=T(6),\quad \ldots$$

圆括号里的量仍是连续时间，方括号里的量是样本序号。样本序号只表示样本在这串记录中的位置。

因为这里每 3 小时取一次点，上面的关系可以压缩成

$$T[n]=T(3n),\quad n=0,1,2,\ldots$$

其实就是把”每隔 3 小时取一个值”写成了统一形式。

信号处理中通常把连续信号记为 $x(t)$。采样以后得到的离散序列写成

$$x[n]=x(nT_s),\quad n=0,1,2,\ldots$$

这里 $T_s$ 是采样周期，表示相邻两个采样时刻之间隔多久；$f_s$ 是采样频率，表示单位时间采多少次。

$$f_s=\frac{1}{T_s}$$

举个例子。若 $x(t)=2t+1$，采样周期 $T_s=0.1\text{ s}$，那么第 3 个样本来自 $t=3T_s=0.3\text{ s}$，所以

$$x[3]=x(0.3)=2\times0.3+1=1.6$$

同一个例子整理成表，

样本序号	连续时刻	样本值
$0$	$0$	$x[0]=x(0)=1$
$1$	$0.1\text{ s}$	$x[1]=x(0.1)=1.2$
$2$	$0.2\text{ s}$	$x[2]=x(0.2)=1.4$
$3$	$0.3\text{ s}$	$x[3]=x(0.3)=1.6$

下图把样本序号、连续时刻和样本的对应关系摆出来。从上往下看，第 $n$ 个样本来自连续时间轴上的 $t=nT_s$ 时刻。

图A.1-2：样本序号与采样时刻

所以 $x[3]$ 表示第 3 个采样点，对应的连续时刻是 $3T_s$。下图把同样的对应关系放到一个一般信号上。蓝线是连续信号，圆点是被留下来的样本。

图A.1-3：连续信号的采样

采样周期决定时间细节

采样周期越小，时间轴上的点越密；采样周期越大，点越稀。拿 1 Hz 正弦波看一下就清楚了。1 Hz 表示 1 秒完成一个周期。若每 0.25 秒采一次，一个周期内有 4 个采样点；若每 0.5 秒采一次，一个周期内只有 2 个采样点。

图A.1-4：采样间隔对比

先看一个周期里留下了几个点。点越稀，就越难从样本判断两点之间发生了什么。

序列与理想采样模型的区别

数字系统实际处理的是 $x[n]$，也就是一串样本值。分析频谱时还要用到另一个写法，把这些样本放回连续时间轴，用一根根理想脉冲标出采样时刻和样本值。

这两个对象要分开看，

对象	位置	作用
$x(t)$	连续时间轴	原来的连续信号
$x[n]$	离散序号轴	数字系统实际处理的样本序列
$x_s(t)$	连续时间轴	分析采样对频谱的影响

$x[n]$ 是数字系统手里的序列；$x_s(t)$ 是后面做频域分析时用的理想模型。

用来标出采样时刻的记号是 $\delta(t-a)$。把它当作放在 $t=a$ 处的一根理想标记就行了。许多个这样的时刻标记按 $T_s$ 排开，就得到采样脉冲列。

图A.1-5：采样时刻脉冲列

单个脉冲与信号相乘时，

$$x(t)\delta(t-a)=x(a)\delta(t-a)$$

脉冲的位置仍在 $a$，权重变成该时刻的样本值。

图A.1-6：单个脉冲采样

仍用 $x(t)=2t+1$、$T_s=0.1\text{ s}$ 的例子，第 3 根脉冲放在 $0.3\text{ s}$，相乘后位置仍是 $0.3\text{ s}$，权重变成 $x(0.3)=1.6$。位置不变，权重改变。

如果不写理想脉冲，只看”第 3 个采样时刻留下了哪个值”，可以把这个动作写成

$$y(t)= \begin{cases} 1.6, & t=0.3\text{ s}\\ 0, & t\ne 0.3\text{ s} \end{cases}$$

这只是帮助理解的写法：它仍然放在连续时间轴上，$t$ 可以取任意连续时刻，但非零的位置只有 $0.3\text{ s}$ 这一点。离散序列 $x[3]=1.6$ 只记录”第 3 个样本的值”，而这个连续时间写法还把样本放回了 $t=0.3\text{ s}$ 的位置。

从三项展开到统一写法

先只写三个采样时刻 $0,T_s,2T_s$。对应的脉冲列是

$$\delta(t)+\delta(t-T_s)+\delta(t-2T_s)$$

让它与 $x(t)$ 相乘，得到

$$x(0)\delta(t)+x(T_s)\delta(t-T_s)+x(2T_s)\delta(t-2T_s)$$

这三项说明了理想采样模型的结构，位置来自采样时刻，权重来自对应的样本值。

项	位置	权重
$x(0)\delta(t)$	$0$	$x(0)$
$x(T_s)\delta(t-T_s)$	$T_s$	$x(T_s)$
$x(2T_s)\delta(t-2T_s)$	$2T_s$	$x(2T_s)$

下图画的就是这种加权脉冲列。

图A.1-7：加权脉冲列

把所有采样时刻都写进去，采样脉冲列常记为

$$p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)$$

实际数据总是从某个时刻开始，也只有有限长度。这里写成从 $-\infty$ 到 $+\infty$，是为了后面做频域分析时式子简洁。

于是理想采样可以写成

$$x_s(t)=x(t)p(t)$$

展开后就是

$$x_s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)\delta(t-nT_s)$$

下图把连续信号、采样脉冲列和采样结果放在同一张图里。

图A.1-8：理想采样模型

采样中有两层关系。数字系统实际处理的是序列 $x[n]=x(nT_s)$；分析频谱时使用的是理想模型 $x_s(t)$。前者是数据，后者是工具。

本节配了一个练习文件，可以跑一跑、改改参数，亲手看看采样率变化对时间分辨率的影响。配套资源打包在专栏入口处。